Fermi-Aufgabe: Wie lang wäre eine Kette aus den einzelnen Wassermolekülen eines Wassertropfens?
Fermi-Aufgabe für Schüler (Mathematik ab Klasse 9,10) und Erwachsene
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Ein möglicher Lösungsweg
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Ein möglicher Lösungsweg
Unsere Schätzung: Wir berechnen zunächst den ungefähren Durchmesser eines Wassermoleküls über seine molare Masse und die Avogadro-Konstante: In einem Mol eines Stoffes befinden sich 6 * 1023 Teilchen. 1 Mol Wasser hat die Masse 18 Gramm, da es aus 2 Wasserstoffatomen (Atommasse 1u) und einem Sauerstoffatom (Atommasse 16u) besteht.In einem Gramm Wasser befinden sich also 6 * 1023 / 18 ≈ 3.3 * 1022 Wassermoleküle.
1 g Wasser entspricht einem Wasserwürfel von 1 cm Kantenlänge. Gedacht teilen wir diesen nun in 3,3 * 1022 winzige Wasserwürfel. Deren Kantenlänge sollte dann ungefähr dem Durchmesser eines Wassermoleküls entsprechen. Diese Kantenlänge ergibt sich durch Ziehen der dritten Wurzel (oder Potenzieren mit 1/3):
Durchmesser eines Wassermolküls in Zentimetern: (1 / 3,3 * 1022)^(1/3) ≈ 3 * 10-8
Durchmesser in Metern damit: 3 * 10-10 m, das sind 0,3 Nanometer.
Ein kugelförmiger Tropfen mit Durchmesser 5 mm bringt es mit V = (4/3) * r3 * π auf ca. 0,06 g. In einem Tropfen Wasser befinden sich also 0,06 * 3.3 * 1022 ≈ 2 * 1021 Moleküle. Die Länge der Kette, die man damit bilden kann, errechnen wir durch Multiplikation mit dem Durchmesser eines Moleküls:
Länge der Kette in Metern: 2 * 1021 * 3 * 10-10 m = 6 * 1011 m = 6 * 108 km.
Die Kette reichte damit mehr als 14.000 mal um den Äquator der Erde.
Das richtige Ergebnis?
Laut Biologie-Lexikon.de weist das Wassermolekül einen "durchschnittlichen Durchmesser von nur 0,28 nm" auf.Ein Tropfen Wasser (Durchmesser 2-3 mm) enthält laut Science.lu "etwa 1021 Wassermoleküle".
Mit diesen Tropfen-Angaben käme man auf etwa 6.600 Äquatorumrundungen.